Un triangle est le type de polygone le plus simple, ayant trois angles et trois côtés. Les côtés sont formés de segments reliés entre eux par trois points sur le plan, formant ainsi une forme rigide. Égalité 2 Triangles peut être confirmé par plusieurs méthodes.

Instructions

1. Si Triangles ABC et DEF sont deux côtés égaux, et l'angle ?, celui placé entre les deux côtés du triangle ABC, est égal à l'angle ?, celui placé entre les côtés correspondants du triangle DEF, alors ces deux triangles sont égaux les uns aux autres.

2. Si Triangles Le côté ABC et DEF AB est égal au côté DE, et les angles adjacents au côté AB sont égaux aux angles adjacents au côté DE, alors ces triangles sont considérés comme égaux.

3. Si Triangles Les côtés ABC AB, BC et CD sont égaux à leurs côtés correspondants du triangle DEF, alors ces triangles sont congrus.

Note!
Si vous devez confirmer l'égalité de 2 triangles rectangles, cela peut être fait en utilisant les signes égaux suivants des triangles rectangles : - une des jambes et l'hypoténuse ; - deux jambes célèbres ; - une des jambes et l'angle aigu adjacent. ; - le long de l'hypoténuse et d'un des angles aigus. Les triangles sont aigus (si tous ses angles sont inférieurs à 90 degrés), obtus (si l'un de ses angles est supérieur à 90 degrés), équilatéraux et isocèles (si ses deux côtés sont égal).

Conseil utile
En plus du fait que les triangles sont égaux les uns aux autres, les mêmes triangles sont semblables. Les triangles similaires sont ceux dont les angles sont égaux les uns aux autres et dont les côtés d'un triangle sont proportionnels aux côtés d'un autre. Il est à noter que si deux triangles sont semblables, cela ne garantit pas leur égalité. Lorsque des côtés similaires de triangles sont divisés les uns par les autres, ce que l'on appelle l'indice de similarité est calculé. Cet indicateur peut également être obtenu en divisant les aires de triangles similaires.

La géométrie en tant que matière distincte commence pour les écoliers de la 7e année. Jusqu'à présent, ils concernent des problèmes géométriques de forme assez légère et principalement ce qui peut être considéré avec des exemples visuels : la superficie d'une pièce, un terrain, la longueur et la hauteur des murs des pièces, des objets plats, etc. Au début de l'étude de la géométrie elle-même, les premières difficultés apparaissent, comme par exemple la notion de ligne droite, puisqu'il n'est pas possible de toucher cette ligne droite avec les mains. Quant aux triangles, c’est le type de polygone le plus simple, ne contenant que trois angles et trois côtés.

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Camarades de classe

Le thème des triangles est l'un des principaux important et de grands sujets du programme scolaire en géométrie pour les classes 7 à 9. Après l'avoir bien maîtrisé, il est possible de résoudre des problèmes très complexes. Dans ce cas, vous pouvez d'abord considérer une figure géométrique complètement différente, puis la diviser pour plus de commodité en parties triangulaires appropriées.

Travailler sur la preuve d’égalité ∆ABC Et ∆A1B1C1 Vous devez bien comprendre les signes d'égalité des chiffres et être capable de les utiliser. Avant d'étudier les signes, vous devez apprendre déterminer l'égalité côtés et angles des polygones les plus simples.

Pour prouver que les angles des triangles sont égaux, les options suivantes vous aideront :

1. ∠ α = ∠ β basé sur la construction des figures.
2. Donné dans les conditions de la tâche.
3. Avec deux lignes parallèles et la présence d'une sécante, des lignes transversales internes et correspondantes peuvent être formées ∠ α = ∠ β.
4. En ajoutant (soustrayant) à (de) ∠ α = ∠ β angles égaux.
5. Vertical ∠ α et ∠ β sont toujours similaires
6. Général ∠ α, appartenant simultanément à ∆MNK Et ∆MNH .
7. La bissectrice divise ∠ α en deux uns égaux.
8. Adjacente à ∠ 90°- angle égal à celui d'origine.
9. Les angles égaux adjacents sont égaux.
10. La hauteur forme deux adjacents ∠ 90° .
11. En isocèle ∆MNKà la base ∠ α = ∠ β.
12. Égal ∆MNK Et ∆SDH correspondant ∠ α = ∠ β.
13. Égalité déjà prouvée ∆MNK Et ∆SDH .

C'est intéressant : Comment trouver le périmètre d'un triangle.

3 signes indiquant que les triangles sont égaux

Preuve d'égalité ∆ABC Et ∆A1B1C1 très pratique à produire, basé sur des bases panneaux l'identité de ces polygones les plus simples. Il existe trois de ces signes. Ils sont très importants pour résoudre de nombreux problèmes géométriques. Chacun mérite d’être considéré.

Les caractéristiques énumérées ci-dessus sont des théorèmes et sont prouvées par la méthode de superposition d'une figure sur une autre, reliant les sommets des angles correspondants et le début des rayons. Les preuves de l'égalité des triangles en 7e année sont décrites sous une forme très accessible, mais sont difficiles à étudier en pratique pour les écoliers, car elles contiennent un grand nombre d'éléments indiqués en lettres latines majuscules. Ce n’est pas tout à fait familier à de nombreux étudiants lorsqu’ils commencent à étudier le sujet. Les adolescents ne comprennent pas bien les noms des côtés, des rayons et des angles.

Un peu plus tard, un autre sujet important « Similitude des triangles » apparaît. La définition même de la « similarité » en géométrie signifie similarité de forme avec des tailles différentes. Par exemple, vous pouvez prendre deux carrés, le premier de 4 cm de côté et le second de 10 cm. Ces types de quadrangles seront similaires et, en même temps, auront une différence, puisque le second sera plus grand, avec chaque côté a augmenté du même nombre de fois.

En considérant le thème de la similarité, 3 signes sont également donnés :

• La première concerne les deux angles correspondants égaux des deux figures triangulaires en question.
• La seconde concerne l'angle et les côtés qui le forment ∆MNK, qui sont égaux aux éléments correspondants ∆SDH .
• Le troisième indique la proportionnalité de tous les côtés correspondants des deux figures souhaitées.

Comment prouver que les triangles sont semblables ? Il suffit d'utiliser l'un des signes ci-dessus et de décrire correctement l'ensemble du processus de preuve de la tâche. Thème de similitude ∆MNK Et ∆SDH est plus facile à percevoir par les écoliers sur la base du fait qu'au moment de l'étudier, les élèves utilisent déjà librement les désignations d'éléments dans les constructions géométriques, ne se confondent pas dans un grand nombre de noms et savent lire des dessins.

En complétant le vaste sujet des figures géométriques triangulaires, les étudiants devraient déjà savoir parfaitement comment prouver l'égalité ∆MNK = ∆SDH sur deux côtés, définissez les deux triangles pour qu'ils soient égaux ou non. Considérant qu'un polygone avec exactement trois angles est l'une des figures géométriques les plus importantes, vous devez prendre le matériau au sérieux, en accordant une attention particulière même aux plus petits faits de la théorie.

De l'Antiquité à nos jours, la recherche de signes d'égalité des figures est considérée comme une tâche fondamentale, qui constitue la base des fondements de la géométrie ; des centaines de théorèmes sont prouvés à l'aide de tests d'égalité. La capacité de prouver l'égalité et la similitude des figures est une tâche importante dans tous les domaines de la construction.

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Mettre la compétence en pratique

Supposons que nous ayons une figure dessinée sur une feuille de papier. En même temps, nous disposons d’une règle et d’un rapporteur avec lesquels nous pouvons mesurer les longueurs des segments et les angles entre eux. Comment transférer une figure de même taille sur une deuxième feuille de papier ou doubler son échelle.

On sait qu'un triangle est une figure composée de trois segments appelés côtés qui forment les angles. Ainsi, il y a six paramètres – trois côtés et trois angles – qui définissent cette figure.

Cependant, après avoir mesuré la taille des trois côtés et angles, transférer cette figure sur une autre surface sera une tâche difficile. De plus, il est logique de se poser la question : ne suffirait-il pas de connaître les paramètres de deux côtés et d’un angle, ou seulement de trois côtés ?

Après avoir mesuré la longueur des deux côtés et entre eux, nous mettrons ensuite cet angle sur une nouvelle feuille de papier, afin de pouvoir recréer complètement le triangle. Voyons comment procéder, apprenons à prouver les signes par lesquels ils peuvent être considérés comme identiques et décidons quel nombre minimum de paramètres il suffit de connaître pour être sûr que les triangles sont identiques.

Important! Les figures sont dites identiques si les segments formant leurs côtés et leurs angles sont égaux entre eux. Les figures similaires sont celles dont les côtés et les angles sont proportionnels. Ainsi, l’égalité est la similarité avec un coefficient de proportionnalité de 1.

Quels sont les signes d’égalité des triangles ? Donnons leur définition :

• le premier signe d'égalité : deux triangles peuvent être considérés comme identiques si deux de leurs côtés sont égaux, ainsi que l'angle qui les sépare.
• le deuxième signe d'égalité des triangles : deux triangles seront identiques si deux angles sont identiques, ainsi que le côté correspondant entre eux.
• troisième signe d'égalité des triangles : Les triangles peuvent être considérés comme identiques lorsque tous leurs côtés sont de même longueur.

Comment prouver que les triangles sont congrus. Donnons une preuve de l'égalité des triangles.

Preuve de 1 signe

Pendant longtemps, parmi les premiers mathématiciens, ce signe était considéré comme un axiome, mais il s'est avéré qu'il peut être prouvé géométriquement sur la base d'axiomes plus fondamentaux.

Considérons deux triangles - KMN et K 1 M 1 N 1 . Le côté KM a la même longueur que K 1 M 1 et KN = K 1 N 1. Et l'angle MKN est égal aux angles KMN et M 1 K 1 N 1.

Si l'on considère KM et K 1 M 1, KN et K 1 N 1 comme deux rayons sortant du même point, alors on peut dire que les angles entre ces paires de rayons sont les mêmes (ceci est précisé par la condition de le théorème). Effectuons un transfert parallèle des rayons K 1 M 1 et K 1 N 1 du point K 1 au point K. Grâce à ce transfert, les rayons K 1 M 1 et K 1 N 1 coïncideront complètement. Traçons sur le rayon K 1 M 1 un segment de longueur KM, originaire du point K. Puisque, par condition, le segment résultant sera égal au segment K 1 M 1, alors les points M et M 1 coïncident. De même avec les segments KN et K 1 N 1. Ainsi, en transférant K 1 M 1 N 1 pour que les points K 1 et K coïncident, et que les deux côtés se chevauchent, on obtient une coïncidence complète des chiffres eux-mêmes.

Important! Sur Internet, il existe des preuves de l'égalité des triangles par deux côtés et un angle utilisant des identités algébriques et trigonométriques avec des valeurs numériques des côtés et des angles. Cependant, historiquement et mathématiquement, ce théorème a été formulé bien avant l’algèbre et avant la trigonométrie. Pour prouver cette caractéristique du théorème, il est incorrect d'utiliser autre chose que les axiomes de base.

Preuve 2 signes

Démontrons le deuxième signe d'égalité en deux angles et un côté, basé sur le premier.

Preuve 2 signes

Considérons KMN et PRS. K est égal à P, N est égal à S. Le côté KN a la même longueur que PS. Il est nécessaire de prouver que KMN et PRS sont identiques.

Reflétons le point M par rapport au rayon KN. Appelons le point résultant L. Dans ce cas, la longueur du côté KM = KL. NKL est égal à PRS. KNL est égal à RSP.

Puisque la somme des angles est égale à 180 degrés, alors KLN est égal à PRS, ce qui signifie que PRS et KLN sont identiques (similaires) des deux côtés et de l'angle, selon le premier signe.

Mais puisque KNL est égal à KMN, alors KMN et PRS sont deux chiffres identiques.

Preuve 3 signes

Comment déterminer que les triangles sont congrus. Cela découle directement de la preuve de la deuxième fonctionnalité.

Longueur KN = PS. Puisque K = P, N = S, KL=KM et KN = KS, MN=ML, alors :

Cela signifie que les deux chiffres sont similaires. Mais comme leurs côtés sont identiques, ils sont également égaux.

De nombreuses conséquences découlent des signes d’égalité et de similitude. L'un d'eux est que pour déterminer si deux triangles sont égaux ou non, il est nécessaire de connaître leurs propriétés, s'ils sont identiques :

• les trois côtés ;
• les deux côtés et l'angle entre eux ;
• les deux angles et le côté entre eux.

Utiliser le test d'égalité du triangle pour résoudre des problèmes

Conséquences du premier signe

Au cours de la démonstration, on peut arriver à un certain nombre de conséquences intéressantes et utiles.

1. . Le fait que le point d'intersection des diagonales d'un parallélogramme les divise en deux parties identiques est une conséquence des signes d'égalité et se prête tout à fait à la preuve. Les côtés du triangle supplémentaire (avec une construction en miroir, comme dans les preuves que nous avons réalisé) sont les côtés du principal (les côtés du parallélogramme).
2. S’il y a deux triangles rectangles qui ont les mêmes angles aigus, alors ils sont semblables. Si la jambe du premier est égale à la jambe du second, alors elles sont égales. C’est assez simple à comprendre : tous les triangles rectangles ont un angle droit. Les signes d’égalité sont donc plus simples pour eux.
3. Deux triangles à angles droits, dans lesquels deux branches ont la même longueur, peuvent être considérés comme identiques. Cela est dû au fait que l’angle entre les deux jambes est toujours de 90 degrés. Par conséquent, selon le premier critère (par deux côtés et l'angle qui les sépare), tous les triangles à angles droits et aux côtés identiques sont égaux.
4. S’il y a deux triangles rectangles et que leur branche et leur hypoténuse sont égales, alors les triangles sont identiques.

Démontrons ce théorème simple.

Il y a deux triangles rectangles. L'un a des côtés a, b, c, où c est l'hypoténuse ; a, b - jambes. La seconde a des côtés n, m, l, où l est l'hypoténuse ; m, n - jambes.

D'après le théorème de Pythagore, l'une des jambes est égale à :

;

.

Ainsi, si n = a, l = c (égalité des jambes et des hypoténuses), respectivement, les secondes jambes seront égales. Les chiffres seront donc égaux selon la troisième caractéristique (sur trois côtés).

Notons une autre conséquence importante. S'il existe deux triangles égaux et qu'ils sont similaires avec un coefficient de similarité k, c'est-à-dire que les rapports deux à deux de tous leurs côtés sont égaux à k, alors le rapport de leurs aires est égal à k2.

Le premier signe d'égalité des triangles. Leçon vidéo sur la géométrie 7e année

Géométrie 7 Le premier signe d'égalité des triangles

Conclusion

Le sujet dont nous avons discuté aidera tout étudiant à mieux comprendre les concepts géométriques de base et à améliorer ses compétences dans le monde intéressant des mathématiques.

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