Un triunghi este cel mai simplu tip de poligon, având trei unghiuri și trei laturi. Laturile sunt formate din segmente care sunt legate între ele prin trei puncte pe plan, formând astfel o formă rigidă. Egalitatea 2 triunghiuri poate fi confirmat prin mai multe metode.
Instrucțiuni
1. Dacă triunghiuri ABC și DEF sunt două laturi egale, iar unghiul?, cel plasat între cele două laturi ale triunghiului ABC, este egal cu unghiul?, cel plasat între laturile corespunzătoare ale triunghiului DEF, atunci aceste două triunghiuri sunt egale unul altuia.
2. Dacă triunghiuri ABC și DEF latura AB este egală cu latura DE, iar unghiurile adiacente laturii AB sunt egale cu unghiurile adiacente laturii DE, atunci aceste triunghiuri sunt considerate egale.
3. Dacă triunghiuri Laturile ABC AB, BC și CD sunt egale cu laturile corespunzătoare ale triunghiului DEF, atunci aceste triunghiuri sunt congruente.
Notă!
Dacă trebuie să confirmați egalitatea a 2 triunghiuri dreptunghiulare, atunci acest lucru se poate face folosind următoarele semne egale ale triunghiurilor dreptunghiulare: - unul dintre catete și ipotenuză; - două catete celebre; - unul dintre catete și unghiul ascuțit adiacent. ;- de-a lungul ipotenuzei și a unuia dintre unghiurile ascuțite.Triunghiurile sunt acute (dacă toate unghiurile sale sunt mai mici de 90 de grade), obtuze (dacă unul dintre unghiurile sale este mai mare de 90 de grade), echilaterale și isoscele (dacă cele două laturi ale sale sunt mai mari de 90 de grade). egal).
Sfaturi utile
Pe lângă faptul că triunghiurile sunt egale între ele, aceleași triunghiuri sunt similare. Triunghiuri similare sunt acelea ale căror unghiuri sunt egale între ele, iar laturile unui triunghi sunt proporționale cu laturile altuia. Este demn de remarcat faptul că, dacă două triunghiuri sunt similare unul cu celălalt, acest lucru nu garantează egalitatea lor. Când laturile similare ale triunghiurilor sunt împărțite între ele, se calculează așa-numitul indice de similitudine. Acest indicator poate fi obținut și prin împărțirea ariilor triunghiurilor similare.
Geometria ca materie separată începe pentru școlari din clasa a VII-a. Până în acest moment, ele se referă la probleme geometrice de o formă destul de ușoară și în principal ceea ce poate fi considerat cu exemple vizuale: suprafața unei camere, un teren, lungimea și înălțimea pereților din camere, obiecte plate etc. La începutul studierii geometriei în sine, apar primele dificultăți, cum ar fi, de exemplu, conceptul de linie dreaptă, deoarece nu este posibil să atingeți această linie dreaptă cu mâinile. În ceea ce privește triunghiurile, acesta este cel mai simplu tip de poligon, care conține doar trei unghiuri și trei laturi.
In contact cu
Colegi de clasa
Tema triunghiurilor este una dintre cele principale importantși subiecte mari ale curriculum-ului școlar în geometrie pentru clasele 7–9. După ce îl stăpânești bine, este posibil să rezolvi probleme foarte complexe. În acest caz, puteți lua în considerare inițial o figură geometrică complet diferită și apoi o puteți împărți pentru comoditate în părți triunghiulare adecvate.
Să lucrăm la dovada egalității ∆ ABCȘi ∆A1B1C1 Trebuie să înțelegeți bine semnele de egalitate a cifrelor și să le puteți utiliza. Înainte de a studia semnele, trebuie să înveți determina egalitatea laturile si unghiurile celor mai simple poligoane.
Pentru a demonstra că unghiurile triunghiurilor sunt egale, următoarele opțiuni vă vor ajuta:
- ∠ α = ∠ β pe baza construcției figurilor.
- Date în condițiile sarcinii.
- Cu două drepte paralele și prezența unei secante, se pot forma atât cele interne transversale, cât și cele corespunzătoare ∠ α = ∠ β.
- Prin adăugarea (scăderea) la (din) ∠ α = ∠ β unghiuri egale.
- Verticala ∠ α și ∠ β sunt întotdeauna similare
- General ∠ α, aparținând simultan ∆MNKȘi ∆MNH .
- Bisectoarea împarte ∠ α în două egale.
- Adiacent la ∠ 90°- unghi egal cu cel original.
- Unghiurile egale adiacente sunt egale.
- Înălțimea formează două adiacente ∠ 90° .
- În isoscel ∆MNK la baza ∠ α = ∠ β.
- Egal ∆MNKȘi ∆SDH corespunzând ∠ α = ∠ β.
- Egalitatea dovedită anterior ∆MNKȘi ∆SDH .
Acesta este interesant: Cum să găsiți perimetrul unui triunghi.
3 semne că triunghiurile sunt egale
Dovada egalitatii ∆ ABCȘi ∆A1B1C1 foarte convenabil de produs, pe baza de bază semne identitatea acestor mai simple poligoane. Există trei astfel de semne. Ele sunt foarte importante în rezolvarea multor probleme geometrice. Fiecare merită luat în considerare.
Caracteristicile enumerate mai sus sunt teoreme și sunt dovedite prin metoda suprapunerii unei figuri peste alta, conectând vârfurile unghiurilor corespunzătoare și începutul razelor. Dovezile pentru egalitatea triunghiurilor în clasa a 7-a sunt descrise într-o formă foarte accesibilă, dar sunt dificil de studiat pentru școlari în practică, deoarece conțin un număr mare de elemente indicate cu majuscule latine. Acest lucru nu este în întregime familiar pentru mulți studenți atunci când încep să studieze materia. Adolescenții devin confuzi cu privire la numele laturilor, razelor și unghiurilor.
Puțin mai târziu, apare un alt subiect important „Similitudinea triunghiurilor”. Însăși definiția „asemănării” în geometrie înseamnă asemănarea formei cu dimensiuni diferite. De exemplu, puteți lua două pătrate, primul cu latura de 4 cm, iar al doilea de 10 cm. Aceste tipuri de patrulatere vor fi similare și, în același timp, au o diferență, deoarece al doilea va fi mai mare, cu fiecare parte a crescut de același număr de ori.
Luând în considerare subiectul asemănării, sunt date și 3 semne:
- Primul este despre cele două unghiuri egale corespunzător ale celor două figuri triunghiulare în cauză.
- Al doilea este despre unghiul și laturile care îl formează ∆MNK, care sunt egale cu elementele corespunzătoare ∆SDH .
- Al treilea indică proporționalitatea tuturor laturilor corespunzătoare ale celor două cifre dorite.
Cum poți demonstra că triunghiurile sunt asemănătoare? Este suficient să folosiți unul dintre semnele de mai sus și să descrieți corect întregul proces de demonstrare a sarcinii. Tema asemănării ∆MNKȘi ∆SDH este mai ușor de perceput de către școlari, pe baza faptului că, până în momentul studierii, elevii folosesc deja în mod liber desemnările elementelor în construcții geometrice, nu se confundă într-un număr mare de nume și știu să citească desene.
Prin completarea temei extinse a figurilor geometrice triunghiulare, elevii ar trebui să știe deja perfect cum să demonstreze egalitatea ∆MNK = ∆SDH pe două părți, setați cele două triunghiuri să fie egale sau nu. Având în vedere că un poligon cu exact trei unghiuri este una dintre cele mai importante figuri geometrice, ar trebui să luați în serios materialul, acordând o atenție deosebită chiar și celor mai mici fapte ale teoriei.
Din cele mai vechi timpuri și până în zilele noastre, căutarea semnelor de egalitate a figurilor este considerată o sarcină de bază, care stă la baza bazelor geometriei; sute de teoreme sunt dovedite folosind teste de egalitate. Capacitatea de a dovedi egalitatea și asemănarea cifrelor este o sarcină importantă în toate domeniile construcției.
In contact cu
Punerea în practică a abilității
Să presupunem că avem o figură desenată pe o bucată de hârtie. În același timp, avem o riglă și un raportor cu ajutorul cărora putem măsura lungimile segmentelor și unghiurile dintre ele. Cum să transferați o figură de aceeași dimensiune pe o a doua foaie de hârtie sau să dublezi scara acesteia.
Știm că un triunghi este o figură formată din trei segmente numite laturi care formează unghiurile. Astfel, există șase parametri - trei laturi și trei unghiuri - care definesc această figură.
Cu toate acestea, după măsurarea dimensiunii tuturor celor trei laturi și unghiuri, transferul acestei figuri pe o altă suprafață va fi o sarcină dificilă. În plus, este logic să punem întrebarea: nu ar fi suficient să cunoaștem parametrii a două laturi și a unui unghi, sau doar a trei laturi?
După ce am măsurat lungimea celor două laturi și între ele, vom pune apoi acest unghi pe o nouă bucată de hârtie, astfel încât să putem recrea complet triunghiul. Să ne dăm seama cum să facem acest lucru, să învățăm cum să dovedim semnele prin care pot fi considerate la fel și să decidem ce număr minim de parametri este suficient să cunoaștem pentru a fi siguri că triunghiurile sunt aceleași.
Important! Figurile se numesc identice dacă segmentele care le formează laturile și unghiurile sunt egale între ele. Figuri similare sunt cele ale căror laturi și unghiuri sunt proporționale. Astfel, egalitatea este asemănarea cu un coeficient de proporționalitate de 1.
Care sunt semnele de egalitate ale triunghiurilor? Să dăm definiția lor:
- primul semn de egalitate: două triunghiuri pot fi considerate identice dacă două dintre laturile lor sunt egale, precum și unghiul dintre ele.
- al doilea semn de egalitate a triunghiurilor: două triunghiuri vor fi aceleași dacă două unghiuri sunt aceleași, precum și latura corespunzătoare dintre ele.
- al treilea semn al egalității triunghiurilor : Triunghiurile pot fi considerate identice atunci când toate laturile lor sunt de lungime egală.
Cum să demonstrezi că triunghiurile sunt congruente. Să dăm o dovadă a egalității triunghiurilor.
Dovada unui semn
Multă vreme, printre primii matematicieni, acest semn a fost considerat o axiomă, cu toate acestea, după cum sa dovedit, poate fi dovedit geometric pe baza unor axiome mai de bază.
Se consideră două triunghiuri - KMN și K 1 M 1 N 1 . Latura KM are aceeași lungime ca K 1 M 1 și KN = K 1 N 1. Și unghiul MKN este egal cu unghiurile KMN și M 1 K 1 N 1.
Dacă considerăm KM și K 1 M 1, KN și K 1 N 1 ca două raze care ies din același punct, atunci putem spune că unghiurile dintre aceste perechi de raze sunt aceleași (acest lucru este specificat de condiția de teorema). Să efectuăm un transfer paralel al razelor K 1 M 1 și K 1 N 1 din punctul K 1 în punctul K. Ca urmare a acestui transfer, razele K 1 M 1 și K 1 N 1 vor coincide complet. Să trasăm pe raza K 1 M 1 un segment de lungime KM, cu originea în punctul K. Deoarece, prin condiție, segmentul rezultat va fi egal cu segmentul K 1 M 1, atunci punctele M și M 1 coincid. În mod similar cu segmentele KN și K 1 N 1. Astfel, transferând K 1 M 1 N 1 astfel încât punctele K 1 și K să coincidă, iar cele două laturi să se suprapună, obținem o coincidență completă a figurilor în sine.
Important! Pe Internet există dovezi ale egalității triunghiurilor pe două laturi și un unghi folosind identități algebrice și trigonometrice cu valori numerice ale laturilor și unghiurilor. Cu toate acestea, din punct de vedere istoric și matematic, această teoremă a fost formulată cu mult înainte de algebră și mai devreme de trigonometrie. Pentru a demonstra această caracteristică a teoremei, este incorect să folosiți altceva decât axiomele de bază.
Dovezi 2 semne
Să demonstrăm al doilea semn de egalitate în două unghiuri și o latură, pe baza primului.
Dovezi 2 semne
Să luăm în considerare KMN și PRS. K este egal cu P, N este egal cu S. Latura KN are aceeași lungime cu PS. Este necesar să se demonstreze că KMN și PRS sunt la fel.
Să reflectăm punctul M relativ la raza KN. Să numim punctul rezultat L. În acest caz, lungimea laturii KM = KL. NKL este egal cu PRS. KNL este egal cu RSP.
Deoarece suma unghiurilor este egală cu 180 de grade, atunci KLN este egală cu PRS, ceea ce înseamnă că PRS și KLN sunt aceleași (similare) pe ambele părți și unghiul, conform primului semn.
Dar, deoarece KNL este egal cu KMN, atunci KMN și PRS sunt două cifre identice.
Dovezi 3 semne
Cum să determinați că triunghiurile sunt congruente. Aceasta rezultă direct din dovada celei de-a doua trăsături.
Lungime KN = PS. Deoarece K = P, N = S, KL=KM și KN = KS, MN=ML, atunci:
Aceasta înseamnă că ambele figuri sunt similare între ele. Dar, din moment ce părțile lor sunt aceleași, sunt și egale.
Multe consecințe decurg din semnele egalității și asemănării. Una dintre ele este că pentru a determina dacă două triunghiuri sunt egale sau nu, este necesar să le cunoaștem proprietățile, dacă sunt aceleași:
- toate cele trei laturi;
- ambele laturi și unghiul dintre ele;
- ambele unghiuri și latura dintre ele.
Utilizarea testului de egalitate triunghiulară pentru a rezolva probleme
Consecințele primului semn
În cursul dovezii, se poate ajunge la o serie de consecințe interesante și utile.
- . Faptul că punctul de intersecție al diagonalelor unui paralelogram le împarte în două părți identice este o consecință a semnelor de egalitate și este destul de susceptibilă de demonstrare.Laturile triunghiului suplimentar (cu o construcție în oglindă, ca în dovezi). pe care le-am executat) sunt laturile celei principale (laturile paralelogramului).
- Dacă există două triunghiuri dreptunghiulare care au aceleași unghiuri ascuțite, atunci ele sunt similare. Dacă piciorul primului este egal cu piciorul celui de-al doilea, atunci sunt egali. Acest lucru este destul de ușor de înțeles - toate triunghiurile dreptunghiulare au un unghi drept. Prin urmare, semnele egalității sunt mai simple pentru ei.
- Două triunghiuri cu unghi drepte, în care două catete au aceeași lungime, pot fi considerate identice. Acest lucru se datorează faptului că unghiul dintre cele două picioare este întotdeauna de 90 de grade. Prin urmare, conform primului criteriu (pe două laturi și unghiul dintre ele), toate triunghiurile cu unghiuri drepte și catete identice sunt egale.
- Dacă există două triunghiuri dreptunghiulare, iar catetul lor și ipotenuza sunt egale, atunci triunghiurile sunt aceleași.
Să demonstrăm această teoremă simplă.
Există două triunghiuri dreptunghiulare. Unul are laturile a, b, c, unde c este ipotenuza; a, b - picioare. Al doilea are laturile n, m, l, unde l este ipotenuza; m, n - picioare.
Conform teoremei lui Pitagora, unul dintre catete este egal cu:
;
.
Astfel, dacă n = a, l = c (egalitatea catetelor și respectiv a ipotenuzelor), catetele secunde vor fi egale. Cifrele, în consecință, vor fi egale conform celei de-a treia caracteristici (pe trei laturi).
Să notăm încă o consecință importantă. Dacă există două triunghiuri egale și sunt similare cu un coeficient de asemănare k, adică rapoartele perechi ale tuturor laturilor lor sunt egale cu k, atunci raportul ariilor lor este egal cu k2.
Primul semn al egalității triunghiurilor. Lecție video despre geometrie clasa a VII-a
Geometrie 7 Primul semn al egalității triunghiurilor
Concluzie
Subiectul pe care l-am discutat va ajuta orice elev să înțeleagă mai bine conceptele geometrice de bază și să-și îmbunătățească abilitățile în lumea interesantă a matematicii.
Articole similare
